三角函数的积化和差公式

　　　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　　　cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]

　　　　sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　三角函数的和差化积公式

　　　　sinα+sinβ=2sincos

　　　　sinα-sinβ=2cossin

　　　　cosα+cosβ=2coscos

　　　　cosα-cosβ=-2sinsin

第I卷（选择题　　共60分）

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

　　只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M={0，1}，N={y|y²=1-x,x∈M}，则M与N的关系是（　　）

　A．M=N　　　　　　　　　D．M∈N

（2）已知tg160°=a，则sin(-1960°)的值是（　　）

（3）函数y=log₄(1-2x+x²)的图象是（　　）

（4）函数f(x)=ax+b与它的反函数是同一函数的充要条件是（　　　）

　A．a=1，b=0　　　　　　　　B．a=-1，b=0

　C．a=±1，b=0　　　　　　　D．a=1，b=0或a=-1，b∈R

（5）已知（1-2x）ⁿ的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64，则（1-2x）ⁿ(1+x)

　　展开式中x⁴项的系数是（　　）

　A．-672　　　　B．672　　　　C．-280　　　　D．280

（6）如图所示，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中。开始时，漏斗盛满液体，经

　　过3min漏完。已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，设H是圆锥形漏斗中液面下

　　落的距离，则H与下落时间t(min)的函数关系的图示只可能是（　　）

（7）下面的4个点中，是函数y=cos²x-2sinxcosx-的图象的对称中心的是

　　　（　　）

（8）在极坐标系中，过点且与圆ρ＝-6cosθ相切的一条直线的方程

　　是（　　）

　A．ρsinθ=6　　　　B．ρcosθ=6　　　C．ρsinθ=-6　　　D．ρcosθ=-6

（9）已知f(x)是R上的增函数，A（0，-1）、B（3，1）是其图象上的两个点，那么|f(x+1)

　　|<1的解集的补集是(　　)

　A．[3，+∞）　　　　　　　　　　B．（-∞，0]∪[3，+∞）

　C．（-∞，-1］∪[2，+∞）　　　　　D．（-1，2）

（10）设函数f(x)=x²-πx，α=arc sin1，β＝arc tg，γ=arc ctg,则（　　）

　A．f(γ)>f(β)>f(α)　　　　　　　 B．f(β)>f(γ)>f(α)

　C．f(γ)>f(α)>f(β)　　　　　　　D．f(α)>f(β)>f(γ)

（11）已知k是常数，若双曲线的焦距与k的取值无关，则k的取值范

　　　围是(　　)

　A．-2<k≤2　　　　　B．k>5　　　　　C．-2<k≤0　　　　　D．0≤k<2

（12）在直角坐标系中，已知过原点O的一条直线与函数y=log₉x的图象交于A、B两点，

　　　分别过A、B作x轴的垂线，与函数y=log₃x的图象交于C、D两点，可以证明直线

　　　AB与直线CD相交，且设交点为P，给出命题：

　①直线AB的斜率小于直线CD的斜率；　　　②点P与点O相同

　③直线AB的斜率大于直线CD的斜率；　　　④点P与点O相同

　　其中正确的是（　　）

　A．①与④　　　　　B．②与③　　　　C．①与②　　　　D．③与④

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

（13）某一电子元件串联电路中，共有6个焊点，则因焊点脱落而电路不通的可能性

　　　的种数是________________。（用数字作答）

（14）已知ctg=2，tg(α-β)=,则 tg(β-2α)的值是_____________

（15）若曲线（t为参数）上的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=x+m

　　　对称，且x₁·x₂=，则m=_________________

（16）若二次函数f₁(x)=a₁x²+b₁x+c₁，f₂(x)=a₂x²+b₂x +c₂.请给出一组满足下述要求

　　　的二次函数：f₁(x)=_____________，f₂(x)=________________，使得①f₁(x)

　　　+f₂(x)是（-∞，+∞）上的单调递增函数；②f₁(x)+f₂(x)是非奇非偶函数。

　　（注：填上你认为正确的一组解析式即可，不必考虑所有可能的情况。）

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）

　　在ΔABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足

(I)判断ΔABC 的形状

(II)当a=10，c=16时，求的值

（18）（本小题满分12分）

　（I）已知函数f(x)=3x²-8(m-1)x+5在[-1，+∞）上为增函数，求实数m的最大值M；

　（II）在（I）的条件下，解关于z的不等式；

　　　　　1+log₄(4-a^z)≤（a^z-1）（其中a>0且a≠1）

（19）（本小题满分14分）

　　已知直线l:x+y-2=0。动点M到原点的距离与到定直线l的距离之比为

（I）求点M的轨迹方程，并指出轨迹是何种曲线；

（II）求轨迹曲线中心的坐标及顶点的坐标。

（20）（本小题满分12分）

　　某化工厂生产某种化工产品，根据市场调查，年产量需不小于150吨且不大于

　　220吨，这时，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数可近似

　　地表示为y=-30x+4000。

（I）当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本；

（II）若每吨平均出厂价为16万元，求年产量为多少吨时，可获得最大的年利润；并

　　　求出最大年利润。

（21）（本小题满分14分）

　　有函数y=f(x)，x∈R。而当x∈R⁺时，f(x)>1，又a、b∈R时，有f(a+b)=f(a)·f(b)

（I）证明f(0)=1

（II）证明y=f(x)在R上是恒为正值的增函数；

（III）若f(1)=2，且集合P={(m,n)|f(n)·f(-m²+2m)>,m、n∈Z}

　　　　Q={（m、n）|f(n-m)=16,m、n∈RZ}，求P∩Q

（22）（本小题满分12分）

　　　双曲线C₁的渐近线方程为在

　　　双曲线上，其中常数m∈(0,1)。双曲线中心为点A，抛物线C₂的顶点为A，焦点

　　　为双曲线的右焦点F

（I）求C₂的方程

（II）过点F且斜率为的直线l与抛物线交于P、Q两点。问：是否存在常数m，使ΔAPQ的

　　　面积为8？若存在，求出m的值及双曲线C₁的方程；若不存在，请说明理由。